因子半衰期¶

对于一个时间序列，我们可以构建一个逐渐衰减的时间序列模型来估计其半衰期。本文介绍了两个模型，用于估计一个时间序列的半衰期。

在量化研究中，了解各个因子的衰减情况，可以更有效地动态分配因子权重，以适应市场变化。

模型一：自回归模型¶

定义弱平稳过程 $X_t$ 为： $$ X_t = c + \lambda X_{t-1} + \epsilon_t, 0 < \lambda < 1 \tag{1}\label{1} $$

公式 $\eqref{1}$ 中要求 $0 < \lambda < 1$，因此 $X_t$ 应是逐渐衰减的。

对于公式 $\eqref{1}$，我们可以使用线性回归估计 $c$ 和 $\lambda$。

弱平稳意味着过程 $X_t$ 有一个固定的均值：$E[X] = \mu$。对 $X_t$ 取期望得到：

\[ \begin{align*} E[X_t] &= E[c + \lambda X_{t-1} + \epsilon_t] \\ \mu &= c + \lambda E[X_{t-1}] \\ \mu &= c + \lambda \mu \\ \mu &= \frac{c}{1 - \lambda} \end{align*} \]

重新排列 $c$ 得到：$c = \mu(1 - \lambda)$

将此代入公式 $\eqref{1}$ 得到：

\[ \begin{align*} X_t &= \mu(1 - \lambda) + \lambda X_{t-1} + \epsilon_t \\ &= \mu + \lambda(X_{t-1} - \mu) + \epsilon_t \end{align*} \]

如果我们设 $Y_t$ 为均值距离 $X_t - \mu$，则： $$ Y_t = \lambda Y_{t-1} + \epsilon_t \tag{2}\label{2} $$

半衰期定义为 $X_t$ 衰减到均值一半所需的时间 $h$。换句话说，是 $Y_t$ 衰减到 $0$ 的一半所需的时间 $h$。这可以写为：

\[ E[Y_{t+h}] = \frac{1}{2}Y_t \]

根据公式 $\eqref{2}$ 我们得到：

\[ E[Y_{t+h}] = \lambda^h Y_t \]

这意味着：

\[ \lambda^h Y_t = \frac{1}{2} Y_t \]

解 $h$ 得到： $$ h = -\frac{\log(2)}{\log(\lambda)} \tag{3}\label{3} $$

因此，我们只需要估计出公式 $\eqref{1}$ 中的 $\lambda$，再代入公式 $\eqref{3}$ 中即可得到半衰期。

Tip

对于一个因子，如果我们认为它的预测能力随着滞后期的增大而最终会趋于 $0$，即认为公式 $\eqref{1}$ 中的 $c = 0$，那么只需要将公式 $\eqref{1}$ 改写为不带截距项的一元线性回归。

模型二：指数衰减模型¶

构建如下指数衰减模型： $$ X_t = \alpha \lambda^{t}, 0 < \lambda < 1 \tag{4}\label{4} $$

设 $h$ 为半衰期，则有：

\[ E[X_t] = \alpha \lambda^{t}\\ E[X_{t+h}] = \frac{1}{2} E[X_t] \]

因此 $$ \alpha \lambda^{t+h} = \frac{1}{2} \alpha \lambda^{t}\ $$

解 $h$ 得到： $$ h = -\frac{\log(2)}{\log(\lambda)} \tag{5}\label{5} $$

因此，我们只需要估计出公式 $\eqref{4}$ 中的 $\lambda$，再代入公式 $\eqref{5}$ 中即可得到半衰期。

下面我们估计公式 $\eqref{4}$ 中的 $\lambda$。为推导简便，我们考虑 $\alpha > 0$，由公式 $\eqref{4}$ 得： $$ \log(X_t) = \log(\alpha) + t\log(\lambda) \tag{6}\label{6} $$

因此，我们只需要将 $\log(X_t)$ 序列作为因变量，将 $t$ 作为自变量，进行带截距项的一元线性回归，估计出的自变量系数即为 $\log(\lambda)$，再代入公式 $\eqref{5}$ 中即可得到半衰期。

Note

相比于模型一中的自回归模型，模型二的指数衰减模型有些弊端：

模型二要求 $X_t$ 为正数，否则无法对其取对数，来进行公式 $\eqref{6}$ 的回归。而模型一并不要求 $X_t$ 为正数。

代码实现¶

我们使用模型一，将时间序列进行滞后一期的自回归，估计回归系数 $\lambda$。核心代码如下：

Python

def halflife(series):
    lambda_ = np.linalg.lstsq(
        series[:-1].values[:, np.newaxis],
        series[1:].values[:, np.newaxis],
        rcond=None,
    )[0].item()

    if 0 < lambda_ and lambda_ < 1:
        return -np.log(2) / np.log(lambda_)
    else:
        return np.NaN

完整代码见 GitHub。

不同模拟数据的估计结果¶

完整代码模拟了“真实期望为零”、“真实期望不为零”和“时间序列不收敛”三种情况。

对于真实期望为零的情况，无论是否带截距项 $c$，估计结果都较为接近。

对于真实期望不为零的情况，是否带截距项 $c$ 的估计结果有较大差异。（注：图中的红线和橙线、蓝线和绿线实际上是重合的，为观察方便，我加上了随机扰动，因此它们看起来并不重合。）

对于带截距项的回归，意味着模型认为时间序列会收敛到一个不一定为 0 的值，因此估计出的半衰期的含义是：衰减到当前值距离均值的一半所需的时间。
对于不带截距项的回归，意味着模型认为时间序列会收敛到 0，因此估计出的半衰期的含义是：衰减到当前值的一半所需的时间。

对于时间序列不收敛的情况，我们的判断逻辑是：若估计出的 $\lambda$ 不满足 $0 < \lambda < 1$，则认为无法估计出半衰期。下图是一个时间序列不收敛而无法估计出半衰期的示例。

计算速度¶

完整代码还对比了不同实现方法进行一元线性回归的计算速度，结果如下。可以发现，使用纯 numpy 进行实现的计算速度最快，而使用 statsmodels 的 AutoReg 接口虽然代码更加简洁，但计算速度较慢。